حدس كُلتز ما زال ينتظر من يثبت صحته أو خطأه

خذ عددا ما، أي عدد تريد، وأجرِ عليه عملية أو عمليات حسابية معينة (مثلا أن تضاعف العدد أو أن تطرح منه العدد 1) فينتج معك عدد آخر. والآن اخضع هذا العدد الجديد الى نفس العملية السابقة . سينتج معك عدد ثالث. وهذا بدوره تجري عليه العملية نفسها من جديد، وهكذا دواليك.
ماذا سيحصل إذا تابعت هذه العملية؟ إنك بشكل عام ستحصل على سلسلة من الأعداد التي قد تتزايد أو تتناقص باستمرار اعتمادا على طبيعة العمليات الحسابية المحددة التي تجريها عليها.

وهذه السلسلة من الأعداد ليست، على الأغلب، بذات أهمية تُذكر. لكن هناك استثناءات. ومن أهمها تلك العمليات التي تعطي، في النهاية، النتيجة نفسها، مهما كان العدد الذي انطلقت منه في البداية.

في عام 1937 أعلن الرياضي الألماني لوثر كُلَتز L. Collatz الحدس التالي:

- خذ أي عدد صحيح
- إذا كان زوجيا إقسمه على (2)
- وإذا كان فرديا اضربه ب (3) ثم أضف للنتيجة (1)
والآن كرر العملية نفسها مع العدد الناتج وحسب كونه زوجيا أو فرديا.
ستكتشف بعد إجراء هذه العملية لعدد محدود من المرات أنك ستحصل في النهاية على العدد 1،مهما كان العدد الذي بدأت به.
إبدأ مثلا بالعدد 5. وبما أنه عدد فردي إذن نضربه ب (3) ونضيف (1) والنتيجة هي 5×3+1= 16
والآن، العدد 16 زوجي، إذن نقسمه على (2) فنحصل على 8، ثم نقسم 8 على 2 فنحصل على 4 ثم 2 ثم 1.
جرب الآن أن تبدأ بالعدد 13 مثلا ( ستجد أنك تحتاج سلسلة من 9 أعداد حتى تصل الى 1). وعند الوصول الى العدد 1 تستقر السلسلة وتتوقف، لأنك إذا حاولت الاستمرار بإنك ستعود سريعا الى العدد (1)
فالعدد (1) فردي، فيكون العدد التالي له هو:
(1×3)+1=4 . ثم 4÷2 = 2 ثم 2÷2 = 1 أي أن الأعداد 4،2،1 تمثل فعلا نهاية السلسلة، حيث تتكرر في حلقة مستمرة غير منتهية.
وقد حدّس كُلَتز أن اي عدد يخضع لهذه العمليات المذكورة أعلاه سيصل في النهاية الى السلسلة 4،2،1 وبعد عدد محدود من المرات.

حاول رياضيون عديدون إثبات صحّة هذا الحدس أو اثبات خطئه (بإعطاء مثال واحد مناقض)، لكن بلا جدوى. في ستينيات القرن الماضي اهتم رياضيون من جامعة سيراكوز الأمريكية (قرب نيويورك) بحدس كلتز. ونتيجة لأبحاثهم الهامة في هذا الموضوع أصبح الحدس يعرف باسم "مسألة سيراكوز".

وفي عام 1983 تحقق الياباني يونيدا من صحة هذا الحدس لجميع الأعداد الطبيعية الأصغر من (776 627 511 1099) لكن هذا لا يشكل إثباتا رياضيا لصحة الحدس.

وفي عام 2007 أثبت كورتز وسيمون أن التعميم الطبيعي لحدس كلتز غير قابل للتحديد خوارزميا
Natural generalization of Kollatz conjecture is algorithmically undecidable

أخيرا نشير الى أن هذا الحدس قد عرف أيضا بعدة اسماء أخرى مثل:

- سلسلة البرَد -Hailstone sequence
- الأعداد العجيبة - Wondrous numbers
- الأحادية Oneness
- هُتبو - HOTPO (half or triple plus one)