معجزات النظام الثنائي

فلنبادرك أولا، عزيزي القارىء، وقبل أن تعترض على تعبير "معجزات"، بالقول بأننا لم نبالغ في قولنا هذا. يكفي أن تعلم أن نظام العد الثنائي هو أساس عمل الحاسوب وما يرتبط به من أنظمة اتصالات كالانترنت، وكذلك كافة الأجهزة والأنظمة الحديثة الرقمية Digital مثل التلفاز وآلات التصوير الرقمية والهواتف الخلوية والدسكات أو الاسطوانات التي يسجل عليها كل شيء: المعلومات والأفلام والموسيقى..

كافة هذه المنتجات التقنية، ذات الأداء المعجز، يعتمد عملها على النظام الثنائي. فهل كنا مبالغين في قولنا أن هذا النظام قد حقق المعجزات؟

النظام العشري والنظام الثماني؟

يستخدم البشر حاليا النظام العشري في العد. أي أن أساسه هو العدد 10 وهو يستخدم عشرة أرقام، من الصفر الى 9 لتمثيل جميع الأعداد الصحيحة والكسرية، سواء أكانت كسورا عادية أم عشرية. ونعلم أن قوة هذا النظام تكمن في أنه موضعي، أي أن قيمة كل رقم تعتمد على موضعه، في أية خانة يوجد. فالعدد 3045 يحتوي على 4 خانات: الآحاد والعشرات والمئات (مربع العشرة) والآلاف (مكعب العشرة) وبما أن 5 موجودة في خانة الآحاد فهي تعني 5 وحدات، و4 في خانة العشرات تعني 4 عشرات اي 40 وهكذا.

ولا شك أن ما ذكرناه هنا هو من مبادىء العد التي يتعلمها أطفالنا في سنواتهم الدراسية الأولى. الواقع أن لا شيء يمنعنا من التفكير في نظام عد من أي أساس نشاء. ماذا لو فكرت بنظام ثُمانيّ؟ ستجد في هذا النظام ثمانية أرقام فقط، من الصفر الى السبعة. وتكون قيمة الخانات على غرار النظام العشري. خانة الآحاد، وخانة الثمانيات وخانة الثمانية مربعة، أي 64، وخانة الثمانية مكعبة، وهكذا.

والعدد 5473 في النظام الثماني يعني أن لدينا 3 آحاد
و 7 ثمانيات
و 4 ثمانيات مربعة
و 5 ثمانيات مكعبة
النظام الثنائي

في النظام الثنائي لن نحتاج إلا الى رقمين، (على غرار الأرقام العشرة في النظام العشري، والأرقام الثمانية في النظام الثماني).

هذان الرقمان هما الصفر والواحد. وبما أنه نظام موضعي أيضا، فإن لكل خانة قيمة مرتبطة بقوى العدد 2. فالخانة الأولى للأحاد، والثانية للإثنينات، والثالثة للاثنين مربعة، والرابعة للاثنين مكعبة، وهكذا.

وتكون قيمة العدد 11111 بالنظام الثنائي كالتالي:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
بينما العدد 1011 بالنظام الثنائي يساوي 1 + 2 + 0+8 = 11. لاحظ أن خانة الأربعات خالية، وقيمتها صفر.

تطبيق ممتع للنظام الثنائي

لعبة نم Nim

هذه لعبة صينية قديمة، لكن يبدو أن مصدر اسمها هو اللغة الألمانية، وتعني فيها: "خذ".

تتلخص اللعبة في توزيع أشياء ( أعواد ثقاب، ورق شدة، حصى) في صفوف، وبالأعداد التي ترغبها في اي صف. لكن الدارج أن توزع في خمسة صفوف، في الصف الأول عود واحد، وفي الثاني عودان، وثلاثة في الثالث، أربعة في الرابع، وخمسة عيدان في الخامس.
أو أن تكتفي بأربعة صفوف وتكون أعداد العيدان فيها 1،3،5،7.

• يتبارى في اللعبة شخصان، ويلعبان بالتناوب. ولكل لاعب الحق في أن يأخذ في كل مرة أي عدد يرغب فيه من العيدان، من صف واحد فقط. والشخص الذي يأخذ العود الأخير هو الخاسر.
• لكن ما علاقة هذه اللعبة بالنظام الثنائي؟
• العلاقة ببساطة أن هذا النظام يمنحك الفرصة للفوز دائما. كل ما عليك أن تفعله هو أن تترك أعدادا مزدوجة من قوى الاثنين. حوّل الأعداد في ذهنك الى النظام الثنائي، أي حللها الى قوى العدد 2، مثلا: إذا كانت الصفوف تحوي في الأصل الأعداد 1،2،3،4،5 فيكون لديك:

5 = 4 + 1
4
3 = 2+1
2
1
والآن لديك العدد 4 مكررا مرتين، والعدد 2 مرتين والعدد 1 ثلاث مرات. فإذا بدأت باللعب، فإن كل ما عليك أن تفعله هو أن تجعل العدد 1 مكررا مرتين أيضا، أي أن تأخذ قطعة واحدة من الصف الأول أو الثالث أو الخامس، حتى تترك أعدادا مزدوجة من قوى العدد 2. وهكذا في كل مرة. (باستثناء النهاية: فالرابح هو من يترك مثلا العدد 1 في ثلاثة صفوف).