ما أقوى أدوات الرياضيات!

حسام جميل مدانات، العرب اليوم، 19/2/2013 تخيل أنك أردت أن تخرج برغيا من دون استخدام المفك، أو أردت أن تحرث الأرض من دون محراث! بعض المهمات قد تكون مستحيلة، أو بالغة الصعوبة إذا لم تنفذها بواسطة الأداة المناسبة. فهل يمكننا أن نقول الشيء نفسه عن الرياضيات؟ هل توفر لنا الرياضيات أدوات، من دونها يصعب أو يستحيل أن نحل بعض المسائل. خذ مثلا الإمكانات الهائلة لحساب التفاضل والتكامل في حسابات النهاية الصغرى والعظمى، والمساحات والحجوم، وباختصار لحل معظم مسائل الفيزياء. نعرض فيما يأتي لمسألة ممتعة من المسائل الشعبية التراثية، ونقدم أداة رياضياتية قوية تجعل حلها مجرد خطوات روتينية لا تحتاج للكثير من التفكير. لديك 12 دينار ذهبيا متماثلة تماما في الشكل، لكن يعتقد أن أحدها مزيف، يختلف وزنه قليلا عن القطع الأخرى (قد يكون أخف أو أثقل). كيف تكتشف الدينار المزيف باستخدام الميزان ذي الكفتين ثلاث مرات فقط؟ يبدأ الحل التقليدي بتوزيع القطع الإثنتي عشرة على ثلاث مجموعات متساوية العدد... وتفاصيل الحل ممتعة، لكنه حل صعب. والآن ما رأيك باستخدام أداة رياضية تحلّ المسألة تلقائيا؟ هذه الأداة هي نظام العدّ الثلاثي. وجوهر الحل هو تمثيل الأعداد من 1 إلى 12 بهذا النظام، أي حسب قوى العدد 3؛ مثلما نمثل الأعداد بالنظام العشري حسب قوى العشرة، أي 1، 10، 100،.... ترقم الدنانير من 1 إلى 12 ثم تنفذ الوزنات الثلاث كما يأتي: الوزنة الأولى: تزن القطع ذوات الأرقام (2،4،5،7) مقابل (1،8،10،11) الوزنة الثانية: (4,5,6,11) مقابل (2,3,7,12) الوزنة الثالثة: (7،8،9،11) مقابل (5،6،10،12) وتمثل الوزنة الأولى العدد 1 والوزنة الثانية العدد 3 والوزنة الثالثة العدد 9 ( أي مربع 3) وكل ما عليك عمله هو اعتبار أرقام الوزنات التي ظهر فيها فرق بين الكفتين. فإذا لم يحصل اختلاف في الوزن بين الكفتين إلا في الوزنة الأولى، فالدينار المزيف هو ذو الرقم 1. وإذا انحصر الاختلاف في الوزنة الثانية فالدينار المزيف هو ذو الرقم 3. وبالمثل إذا انحصر الاختلاف في الوزنة الثالثة، فالدينار المزيف هو ذو الرقم 9. وإذا حصل الاختلاف في الوزنتين الأولى والثانية، وكانت الكفة اليمنى (أي المجموعة الأولى) هي الأثقل في الحالتين فيكون رقم الدينار المزيف هو حاصل جمع العددين 1+3 = 4. أما إذا طبشت الكفة اليمنى ( كانت أثقل) في الوزنة الأولى، وطبشت الكفة اليسرى في الوزنة الثانية فيكون رقم الدينار المزيف هو 3 – 1 = 2. وإذا كانت اليمنى أثقل في الوزنتين الثانية والثالثة، وأخف في الوزنة الأولى، يكون الرقم هو: 9+3-1=11 وبالعكس، إذا أعطيتك رقم القطعة المزيفة، فإن بإمكانك أن تتوقع الوزنات التي لن تتساوى فيها الكفتان. مثلا، إذا كانت القطعة رقم 5 هي المزيفة، وبما أن 5=9-3-1 إذن سيظهر الرقم 5 في المرات الثلاث، أي ستكون الوزنات الثلاث غير متساوية. وفعلا يظهر الرقم 5 في المجموعة الأولى (الكفة اليمنى) من أول وزنتين، وفي المجموعة الثانية (الكفة اليسرى) من الوزنة الثالثة.